МАТКРЕАТИВ.RU Сайт учителя математики
Рычковой О.В.
16 мар 2015

Справочник по геометрии 7-9

 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ

Прямые а и b пересечены секущей с

∠1 и ∠2;∠3 и∠4 - накрест лежащие углы

∠1 и ∠8; ∠3 и ∠5 - соответственные углы

∠2 и ∠7; ∠4 и ∠6 - соответственные углы

∠1 и ∠3;∠2 и ∠4 -  односторонние углы

 

Признаки параллельности прямых

Свойства углов при параллельных прямых

∠1=∠2 ⇒ а║b

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

∠1=∠8 ⇒ а║b

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

∠1+∠3 = 180° ⇒ а║b

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

а║b, а║с⇒с║b          а⊥b, a⊥с⇒с║b

а║b ⇒ ∠1=∠2

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

а║b ⇒ ∠1=∠8

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

а║b ⇒ ∠1+∠3 = 180°

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна .

 

НЕКОТОРЫЕ АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

Через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна.

A ∈ a         B ∈ a

   

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

a║b      A ∈ a

 

УГЛЫ

Острый угол
меньше прямого угла

∠CDA < 90°

Тупой угол
больше прямого угла

90° < ∠ab < 180°

Прямой угол

∠hk = 90°

Развернутый угол

∠AOM = 180°

Смежные углы

∠ABC и ∠СИВ - смежные углы

∠ABC + ∠СИВ = 180°

Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы

∠AOB и ∠COD - вертикальные

∠AOB = ∠COD

Вертикальные углы равны.

 

 

БИССЕКТРИСА УГЛА

с – биссектриса ab

aс = сb

Луч с делит угол ab пополам

Свойство биссектрисы

АМ = ВМ

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон угла.

 

 

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Треугольник

Разносторонний

Равнобедренный

Равносторонний

Остроугольный
(все углы острые)

все стороны разной длины

две стороны равны

все стороны равны

Прямоугольный
(один из углов – прямой)

А=В=∠C=60°

Р = 3а, где
а - сторона,
Р- периметр

Тупоугольный
(один из углов – тупой)

 

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Сумма углов треугольника равна 180°.

∠А+В+∠C=180°

Свойство внешнего угла: ∠АСК = ∠А + В

Неравенство треугольника

а < b+с    b < а+с     с < а+b

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

а > b - с, где b>с

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

b > с ⇒ В > С    и    В > С ⇒ b > с

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Против большего угла лежит большая сторона.

Теорема синусов

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

где R - радиус описанной окружности.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

c2 = а2 + b2 ― 2аb cosC
а2 = с2 + b2 ― 2bс cosA
b2 = с2 + а2 ― 2ас cosB

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны   на высоту к этой стороне:

S = 1/2ah

Другие формулы:

S = 1/2ab sinC = 1/2aс sinB = 1/2сb sinA

S = √p(p-a)(p-b)(p-c),

где p=a+b+c/2 - полупериметр

S = pr,

где r - радиус вписанной в треугольник окружности

S = abc/4R,

где R - радиус описанной окружности

 

СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕНННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

∠А = ∠С,
АС – основание
АВ и ВС – боковые стороны

Биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

ВК – биссектриса
ВК – медиана
ВК - высота

 

РАВНЫЕ И ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

ΔABC = ΔA1B1C1, значит,
AB = A1B1    CB = C1B1    CA = C1A1
∠A = ∠A1    ∠B = 
∠B1      ∠C = ∠C1

ΔABC подобен ΔA1B1C1, значит,
∠A = ∠A1    ∠B = ∠B1      ∠C = ∠C1
AB/A1B1 = AC/A1C1 = BC/B1C1

 

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

По двум сторонам и углу между ними

 

AB = A1B1     CB = C1B1      ∠B = ∠B1
ΔABC = ΔA1B1C1

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По двум углам

∠A = ∠A1        ∠B = ∠B1
ΔABC подобен ΔA1B1C1

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

По стороне и двум прилежащим углам

AC = A1C1     ∠A = ∠A1      ∠C = ∠C1
ΔABC = 
ΔA1B1C1

Если сторона и два прилежащих к ней угла  одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По двум сходственным сторонам и углу между ними

AB/A1B1 = AC/A1C1        ∠A = ∠A1
ΔABC подобен ΔA1B1C1

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

По трем сторонам

AB = A1B1    CB = C1B1     AC = A1C1
ΔABC = ΔA1B1C1

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сходственным сторонам

AB/A1B1 = AC/A1C1 = BC/B1C1
ΔABC подобен ΔA1B1C1

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

 

 

Контакты | Прямая связь | Документы | Фотоальбом | Гостевая книга | Все отзывы Карта сайта | RSS
Математический креатив - сайт учителя математики Рычковой О.В. – учителя математики высшей квалификационной категории муниципального казенного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы п. Кобра Нагорского района Кировской области.

© 2011-2017 Все материалы сайта http://matcreative.ru и их содержание являются собственностью Рычковой Ольги Валерьевны (кроме случаев, когда указано другое авторство) и охраняются законодательством Российской Федерации о правах на результаты интеллектуальной деятельности и средства индивидуализации (в том числе – об авторском праве и правах, смежных с авторскими).

Правила использования материалами сайта «МатКреатив»
Рейтинг@Mail.ru