МАТКРЕАТИВ.RU Сайт учителя математики
Рычковой О.В.
24 мая 2015

Программа элективного курса "Как решать задачу, когда не знаешь как"

Рычкова О. В.

учитель математики МКОУ СОШ п. Кобра

Пояснительная записка.

   Концепция новых федеральных государственных образовательных стандартов общего образования провозглашает своей идеологией деятельностную парадигму образования, постулирующую в качестве цели образования развитие личности учащихся на основе освоения универсальных способов деятельности. Появление новых видов результатов образовательной деятельности приводит к поиску новых подходов, к необходимости усиления развивающего эффекта урока и внеурочных занятий. Сегодняшний выпускник школы должен не просто владеть определенной суммой знаний. Он должен уметь действовать в нестандартной ситуации, быстро и продуктивно включаться в незнакомые виды деятельности, прогнозировать результат, вести конструктивный диалог. Важно, чтобы ученик владел общими методами развития творческого мышления. Владение этими методами помогает преодолеть психологическую инерцию, то есть  предрасположенность к конкретному образу мышления при решении задачи, игнорирование альтернативных возможностей, кроме первоначальной. Многие предлагаемые задания – это задачи открытого типа, в частности открытые изобретательские задачи.  Подобные задания разрушают стереотипы мышления, учат ребенка мыслить нешаблонно, генерировать идеи. Поэтому на занятиях используются задания и с нематематическим содержанием, в которых для разрешения той или иной затруднительной ситуации надо использовать некоторый изобретательский принцип.

Цель курса: познакомить учеников с некоторыми общими методами развития мышления, адаптированными под школьный возраст; показать применение этих методов при решении задач (проблем).

Планируемые результаты:

Предметные: учениками усвоены предметные понятия и способы действий за рамками образовательного стандарта по предмету.

Метапредметные: знакомство с общими методами рассуждений, формирование  универсальных учебных действий.

Познавательные, регулятивные, коммуникативные УУД:

регулятивные

познавательные

коммуникативные

-целеполагание;

-планирование;

-прогнозирование;

-контроль;

-коррекция;

-оценка;

-саморегуляция

-структурирование знаний;

-осознанное и произвольное построение речевого высказывания;

-рефлексия способов и условий действия;

-самостоятельное создание алгоритмов деятельности при выполнении заданий поискового характера;

-моделирование;

-построение логической цепи рассуждений

-планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;

- управление поведением партнера;

-умение выражать свои мысли в соответствии с условиями коммуникации

Личностные (личностные УУД): смыслообразование; нравственно - этическая ориентация (осознание ценности знаний, желание продолжать образование).

Возраст учеников: курс рассчитан на учащихся 8 – 9 классов, но при необходимости с незначительными изменениями (путем замены заданий) может быть использован для учеников другого возраста.

Количество часов: курс рассчитан на 34 часа, но легко корректируется на другое количество часов.

 

Тематическое планирование.

Тема 1. Элементы логики – 4 часа.

Тема 2. Психологическая инерция и методы ее преодоления – 1 час.

Тема 3. Метод проб и ошибок – 1 час.

Тема 4. Закрытые и открытые задачи – 4 часа.

Тема 5. Обращение идей – 2 часа.

Тема 6. Перенос идей – 2 часа.

Тема 7. Изменение объектов – 3 часа.

Тема 8. Движение объектов – 3 часа.

Тема 9. Конструирование объектов – 3 часа.

Тема 10. Составление задач – 4 часа.

Тема 11. Решение нестандартных задач – 3 часа.

Тема 12. Решение олимпиадных задач – 4 часа.

 

Календарное планирование.

№ занятия

Содержание занятия

Методические

 рекомендации.

Тема 1. Элементы логики – 4 часа.

1 - 4

-Логика как наука.

- Определение высказывания, истинности высказывания.

-Логические цепочки.

-Составление сложных высказываний, определение их истинности.

-Использование предикатов.

-Решение логических задач.

Тема нужна для умения формулировать свои мысли, идеи, гипотезы на основе построения простых и сложных высказываний.

Тема 2. Психологическая инерция и методы её преодоления – 1 час.

5

-Понятие психологической инерции.

- Виды психологической инерции.

- Методы преодоления психологической инерции.

Вести понятие «психологической инерции» как привычки к стандартным действиям в типовых ситуациях или упорное стремление человека думать и действовать в соответствии с выработанными привычками и представлениями.

Рассмотреть виды (с примерами) и возможные методы её преодоления.

Тема 3. Метод проб и ошибок – 1 час.

6

- Суть метода.

- Решение задач перебором вариантов.

 

Приложение 1.

Тема 2. Закрытые и открытые задачи – 4 часа.

7 - 10

- Понятие закрытых и открытых задач.

- Открытые изобретательские задачи.

- Решение открытых изобретательских задач с нематематическим содержанием с помощью мозговой атаки, методом мозгового штурма, методом обратного мозгового штурма.

- Интеллектуальная игра «Креатив - бой»

Приложение 2.

Тема 5. Обращение идей – 2 часа.

11 - 12

- Суть метода «наоборот».

- Выполнение упражнений с нематематическим содержанием.

- Решение математических задач с помощью метода.

Приложение 3.

Тема 6. Перенос идей – 2 часа.

13 - 14

- Аналогия как метод научного познания. Примеры.

- Перенос идей.

- Перенос приема поиска.

Приложение 4.

Тема 7. Изменение объектов – 3 часа.

15 - 17

- Суть метода.

- Два вида изменения объектов: логические и алогические изменения.

- Изменение параметров объекта.

- Решение задач с помощью приема «подправление объекта».

- Решение задач с помощью приема «пусть будет!»

Приложение 5.

Тема 8. Движение объектов – 3 часа.

18 - 20

- Принцип динамичности.

- Удаление и сближение объектов.

- Прием «положи объект на бок».

- Переход в другое измерение.

Приложение 6.

Тема 9. Конструирование объектов – 3 часа.

21 - 23

- Получение новых комбинаций из «старых» объектов.

- Конструирование особенностей у математических объектов.

- Игровой прием «деформированные задачи».

- Идея порождающего объекта.

- Идея «кирпичиков».

Приложение 7.

Тема 10. Составление задач – 4 часа.

24 - 27

- Приемы составления задач.

- Прием объединения объектов.

- Прием «идея + некоторая информация о будущей задаче».

- Прием «идея + стандартная задача».

Приложение 8.

Тема 11. Решение нестандартных задач – 3 часа.

28 - 30

- Решение задач с математическим и нематематическим содержанием с помощью рассмотренных методов.

Приложение 9.

Тема 12. Решение олимпиадных задач – 4 часа.

31 - 34

- Решение задач олимпиад по математике разного уровня.

 

 

Для теоретического обоснования указанных методов и наполнения содержания занятий конкретными задачами можно использовать следующую литературу:

  1. Гин А. А. Теория открытых задач: проблематизация //Универсальный решатель.-URL:http://trizway.com.
  2. Горев П. М., Утёмов В. В. Научное творчество: Практическое руководство по развитию креативного мышления.-М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013.-112 с.
  3. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех. Кн. II:[для ст. шк. возраста].- М.: Просвещение, 2008.- 176 с.
  4. Кашуба Р. Как решать задачу, когда не знаешь как: пособие для учащихся общеобразоват. организаций / Р. Кашуба.- 2-е изд. – М.: Просвещение, 2012.- 174 с.: ил.- (Решаем нестандартные задачи).
  5. Шуба М. Ю. Учим творчески мыслить на уроках математики: пособие для учителей общеобразоват. учреждений/ М. Ю. Шуба.- М.: Просвещение, 2012.- 218 с. – (Работаем по новым стандартам).
  6. http://www.etudes.ru/
  7. http://www.trizland.ru/

 

Приложение 1.

Тема «Метод проб и ошибок».

На этом занятии можно познакомить учащихся с понятием креативности, рассмотреть психологические барьеры творчества и остановиться на методе проб и ошибок (метод решения задачи, когда происходит перебор всех вариантов решения).

Примеры заданий:

  1. Три человека открыли на одной улице три магазина. Во всех трех магазинах примерно одинаковый ассортимент товаров. Чтобы привлечь покупателей, владелец магазина справа, повесил у себя на двери объявление: «У нас самые низкие цены!». Глядя на соседа, владелец магазина слева тоже разместил на двери своего магазина рекламный плакат: «Здесь самый качественный товар!». Какой слоган должен вывесить владелец «среднего» магазина, чтобы привлечь покупателей? 
  2. Сумма каких двух натуральных чисел равна их произведению?

 

Приложение 2.

Тема «Закрытые и открытые задачи».

Для развития творческой составляющей личности учащихся необходимы творческие задачи, но не сами по себе, а только если учащиеся будут осваивать методы решения творческих задач и самостоятельно создавать их модификации. Близка к классификации творческих задач классификация задач на закрытые и открытые.

Задачи закрытого типа предусматривают четкую и однозначную трактовку условия проблемы, из которого зачастую единственный способ решения напрашивается сам собой. В результате задача имеет, как правило, одно верное решение.

Задачи открытого типа имеют размытое условие, из которого недостаточно ясно, как действовать, что использовать при решении, но понятен требуемый результат. Вариантов решений много, но нет понятия правильного решения: решение либо применимо к достижению требуемого результата, либо нет.

Следует рассмотреть открытые задачи с нематематическим содержанием (источником может служить сайт http://www.trizland.ru)

В рамках рассмотрения темы предполагается двух часовая интеллектуальная игра на основе открытых задач «Креатив - бой».

Приложение 3.

Тема «Обращение идей».

На занятиях по этой теме учитель может показать важность и эффективность приема «наоборот» в творческой деятельности людей, а также организовать нечто подобное при обучении учащихся. Обращая привычный ход мысли, алгоритмы математических действий, ученик может прогнозировать будущие проблемы и задачи. Учитель подкрепляет эти прогнозы примерами, каждый раз подчеркивая важность сделанных раньше догадок. Огромное значение идея обратимости имеет в изобретательстве.

Принцип «наоборот» - один из основополагающих в ТРИЗе (теории решения изобретательских задач). Он заключается в том, чтобы:

  1. вместо действия, диктуемого условиями задачи, осуществить обратное действие;
  2. изменить какое – либо качество или свойство объекта (факта, утверждения) на противоположное.

Обращение идей, к каким бы абсурдным мыслям ни приводило, помогает ученику заметить то, что раньше было увидеть трудно. При этом ученику приходится удерживать в памяти две противоположные мысли, что является основой для развития творческого (диалектического) мышления.

Исторические примеры:

  1. Леонардо да Винчи оставил в своих записных книжках такие пророчества: люди будут разговаривать из самых отдаленных стран; люди будут говорить с тем, кого нет; люди будут слышать того, кто не говорит. Все эти высказывания возникли обращением обычных житейских ситуаций. Люди разговаривали только тогда, когда находились в одном месте. А что будет наоборот? Так да Винчи предвидел будущие открытия человечества – передачу звука и изображения на большие расстояния и многое другое.
  2. Мы знаем, что ракета, посылаемая в космос, взмывает вертикально вверх. Что, если будет наоборот? Она будет двигаться вниз. Зачем? Оказывается, был получен патент на бурение артезианских скважин с помощью небольших ракет.

Примеры математических задач:

  1. Для опровержения утверждений учащиеся учатся находить контрпримеры. Важно уметь делать и наоборот. Ученики выбирают какой – либо математический объект и придумывают такое утверждение, для которого этот объект был бы контрпримером. Задание: найти число, которое точно не будет являться корнем данного уравнения.
  2. Чтобы получить приведенное квадратное уравнение мы обе части уравнения делим на старший коэффициент а. Что будет, если мы обе част на а умножим? Обозначив после умножения ах новой переменной мы получим приведенное уравнение относительно новой переменной и устный способ решения первоначального квадратного уравнения (в случае рациональных корней).
  3. Использование ярких примеров обращения идей под заголовком «Любишь кататься – люби и саночки возить!»
    * Любишь систему уравнений сводить к уравнению, люби и уравнение сводить к системе.
    * Любишь по равенству углов устанавливать подобие треугольников, люби и в подобных треугольниках находить равные углы.
    * Любишь сумму квадратов синуса и косинуса одного аргумента заменять единицей, люби и единицу заменять суммой квадратов синуса и косинуса одного и того же угла.
    * Любишь упрощать задачу, люби ее и усложнять.

 

Приложение 4.

Тема «Перенос идей».

Использование аналогии является одним из основных методов научного познания. Можно привести примеры открытий на основе метода аналогии.

В психологии открыт закон переноса: решение проблем (задач) в одной области облегчает решение задач в других областях за счет общности мыслительных механизмов. Если образовывать такие связки, то и сами математические идеи и подходы будут эффективнее запоминаться учениками и вспоминаться ими в нужный момент.

При рассмотрении темы необходимо показать, что перенос идей намного эффективнее переноса метода при решении задач. Особенно важен перенос приема поиска, который был успешно использован в данных условиях, в другую тему (область).

Пример 1. Ученики использовали прием «разбей фигуру на части и составь из них удобную фигуру». Заменяя слово «фигура» на слово «объект», они рассматривают математические объекты другой природы, для которых можно использовать тот же прем для поиска идей и составления задач.

Пример 2. Идею сложения отрезков в планиметрии можно перенести для сложения графиков или точек графика  (в теме «Функция»).

Возможные подходы в обучении учеников умению переносить идеи.

Подход первый.

А) Учитель заготавливает две ассоциативно сходные идеи.

Б) Учитель организует запрограммированный поиск учащимися первой идеи.

В) Учитель в качестве подсказки напоминает ученикам вторую идею.

Г) Используя аналогию, ученики выходят на идею, «заготовленную» учителем.

Д) Ученики совместно с учителем соотносят эти две идеи, ищут в них новые ресурсы, если возможно, то выходят на обобщение.

Е) Ученики составляют задачи на основе полученных идей, а потом решают их.

Второй подход.

Учитель подбирает две сходные идеи а и в из различных учебных тем А и В. Одна группа переносит идею а из темы А в тему В, а другая наоборот. Затем группы объединяются и ученики соотносят один перенос с другим, выявляя новые поисковые ресурсы. Потом на основе этих идей составляют задачи.

 

Приложение 5.

Тема «Изменение объектов».

Развитие у учащихся способности к преобразованиям – актуальная проблема педагогической психологии. Основная цель изменения объекта – выявление в объекте (понятии) его ресурсов (свойств и функций) и поиск идей на их основе. В результате ученик приобретает навык постоянного мыслительного изменения любых вещей, что и является основой изобретательского мышления.

Пример задания:

Изменяя прямоугольный треугольник с катетом а, вписанный в окружность, в произвольный треугольник со стороной а, вписанный в эту же окружность, ученики, сохраняя величину угла, противолежащего стороне а, выходят на свойство а=2RsinA, где R- радиус окружности. Сдвигая вершину угла А треугольника в другую сторону, получаем тупоугольный треугольник, что подсказывает идею полного рассмотрения всех возможных случаев.

Прием «подправление объекта» подразумевает выполнение одного из действий: стереть (убрать) какой – либо элемент объекта; добавить (дописать) какой – либо элемент; стереть элемент и вместо него дописать другой.

Пример заданий:

Даны несколько равенств. В каждое из них внесите только одно исправление так, чтобы равенство оказалось тождеством.

Прием «пусть будет» заключается в том, чтобы придать данному объекту (чаще мысленно) то свойство, которым он сейчас обладает.

Пример задания:

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Учитель говорит: «Пусть на чертеже появится правильный треугольник». Это значит, что ученики могут так изменить данный объект и (или) сделать в нем такие дополнительные построения, чтобы в результате появились правильные треугольники. При такой ситуации очень много различных возможностей разной степени трудности и оригинальности. Потом полученные версии используются для составления задач (1.Высоту SP изменить так, чтобы боковая грань стала правильным треугольником. 2.На ребре AS выбрать точку М так, чтобы треугольник DMB оказался правильным….)

                                                                             

Приложение 6.

Тема «Движение объектов».

Принцип динамичности гласит:

  1. Если объект в целом неподвижен, то надо сделать его подвижным, перемещаться.
  2. Разделить объект на части, способные перемещаться относительно друг друга.

Наибольшего внимания при рассмотрении темы заслуживает переход в другое измерение. Мы учим детей при решении задачи по возможности уменьшать размерность пространства. Следует рассмотреть планиметрические задачи, которые легче решаются, наоборот, при переходе в трехмерное пространство.
Пример:

Рассмотрим три произвольные окружности и проведём попарные касательные к каждой паре окружностей. Что можно сказать о полученных трёх точках, являющихся пересечением касательных, проведённых к двум окружностям? Судя по рисунку, они лежат на одной прямой. Однако рисунок — это не доказательство, а лишь информация для выработки гипотезы. Попробуем её доказать. Рассматриваемая задача и рисунок к ней расположены на плоскости.  Давайте посмотрим на эту плоскость извне — из объемлющего трёхмерного пространства. Несложные рассуждения позволяют доказать принадлежность точек одной прямой.

 

Приложение 7.

Тема «Конструирование объектов».

В результате конструирования объектов, обладающих теми или иными свойствами, у школьников накапливается опыт решения нестандартных задач, так как такие решения часто основываются на индивидуальных особенностях условий, которые дают возможность оригинального подхода к решению.

Подходы к конструированию математических объектов учениками:

- конструирование целого по части;

- представление объекта как комбинации других объектов;

- конструирование объекта по аналогии с другим объектом;

- объединение объектов, имеющих связь между собой;

- конструирование объекта по данному свойству.

Пример «деформированных заданий» по теме «Тригонометрические выражения». В каждом из данных равенств запишите вместо квадратика такое выражение, чтобы получились тождества.

Приложение 8.

Тема «Составление задач».

Самостоятельное составление задач учащимися – важная часть процесса обучения. Известные в методике подходы к составлению учащимися задач (составление обратной или аналогичной задачи, обобщение задач) недостаточно ориентированы на развитие их умения генерировать идеи. Идеальный способ «сближения» процессов составления и решения задач, очевидно, заключается в том, что ученик придумывает задачу, уже зная идею ее решения. Ученики проводят игру с математическими объектами, в результате чего у них возникают учебно – математические идеи, на основе которых составляются задачи, а потом они решаются. Таким образом, составление задач учащимися оказывается необходимым этапом поискового процесса. В этом и заключается отличие данного подхода от уже известных.

Примеры заданий:

  1. Прием «идея + некоторая информация о будущей задаче».
    Составьте задачу по ее решению
    V=SH/3=SR/3=S/3*abc/4S=15*16*17/12=340 см3
    Решите эту задачу другим способом.
    (Найдите объем пирамиды, у которой основание – треугольник со сторонами 15 см, 16 см, 17 см, а все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°).
  2. Прием объединения объектов.
    Умеем доказывать, что выражение n3-n делится на 6,
    умеем доказывать, что выражение 6n делится на 6
    Составляем задачу: «Доказать, что выражение n3 + 5n делится на 6».

 

Приложение 9.

Тема «Решение нестандартных задач».

Ученикам предлагается подборка нестандартных (открытых) задач, как с математическим, так и с нематематическим содержанием для самостоятельного решения.

Пример заданий:

  1. Используя 6 спичек сложите 4 равных треугольника (выход в другое измерение).
  2. Дан параллелепипед из стекла. Как непосредственно измерить его большую диагональ, не разрушая его и не прибегая к вычислениям? (методы изменения объекта).
  3. В 1990 году на китайском рынке производителей компьютерной техники появился новый игрок, который в последующем вышел на международный уровень. Следуя древнему правилу «как корабль назовешь, так он и поплывет», назвать тогда компанию решили по имени мифологического быстрокрылого коня – «Пегас». Маркетологи при регистрации фирмы обратили внимание владельцев на то, что во всех справочниках компании располагаются чаще всего в алфавитном порядке. Поэтому новая фирма с амбициозными планами и названием на букву «П» будет располагаться где-то во второй половине любого общего списка. Руководству же не хотелось отказываться от первоначального названия. Каким образом удалось решить проблему? (метод мозгового штурма).

 

Скачать материалы

Контакты | Прямая связь | Документы | Фотоальбом | Гостевая книга | Все отзывы Карта сайта | RSS
Математический креатив - сайт учителя математики Рычковой О.В. – учителя математики высшей квалификационной категории муниципального казенного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы п. Кобра Нагорского района Кировской области.

© 2011-2017 Все материалы сайта http://matcreative.ru и их содержание являются собственностью Рычковой Ольги Валерьевны (кроме случаев, когда указано другое авторство) и охраняются законодательством Российской Федерации о правах на результаты интеллектуальной деятельности и средства индивидуализации (в том числе – об авторском праве и правах, смежных с авторскими).

Правила использования материалами сайта «МатКреатив»
Рейтинг@Mail.ru